Cardinal spline filters: Stability and convergence to the ideal sinc interpolator

It is proved that the frequency responses of the cardinal spline filters converge to the ideal lowpass filter in all Lfnorms with 1 ~<p < + ~ as the order of the spline tends to infinity.

Abstract

In this paper, we provide an interpretation of polynomial spline interpolation as a continuous filtering process. We prove that the frequency responses of the cardinal spline filters converge to the ideal lowpass filter in all Lp-norms with 1 ⩽ p < + ∞ as the order of the spline tends to infinity. We provide estimates for the resolution errors and the interpolation errors of the various filters. We also derive an upper bound for the error associated with the reconstruction of bandlimited signals using polynomial splines. In dieser Arbeit wird eine Interpretation der Polynom-Spline-Interpolation als kontinuierlicher Filterungsprozeß vorgestellt. Es wird bewiesen, daß die Frequenzgänge von Cardinal-Spline-Filtern in allen Lp-Normen mit 1 ⩽ p < ∞ gegen den idealen Tiefpaß konvergieren, wenn die Ordnung der Splines gegen unendlich geht. Wir stellen Abschätzungen für die Auflösungsfehler und Interpolationsfehler für verschiedene Filter vor. Es wird außerdem eine obere Grenze für den Fehler im Zusammenhang mit der Rekonstruktion von bandbegrenzten Signalen mit Hilfe von Polynom-Splines hergeleitet. Dans cet article, nous proposons une interprétation de l'interpolation B-spline en terme de filtres continus. Nous prouvons que les réponses fréquentielles des filtres splines cardinaux convergent vers le filtre passe-bas idéal, et ceci dans toutes les normes Lp avec 1 ⩽ p < ∞, quand l'ordre des splines tend vers l'infini. Nous donnons l'estimation des erreurs de résolution et d'interpolation des differents filtres splines. Nous obtenons une limite superieure de l'erreur associée à la reconstruction de signaux à bande limitée par interpolation spline.