Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen

Abstract

Einleitung. Historische Ubersicht uber die Entwicklung des Primzahlproblems: Entwicklung vor Hadamard Hadamard und seine Nachfolger Erstes Buch. Uber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grosse. Erster Teil. Anwendung elementarer Methoden: Uber die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl Primzahl ist Beweis, dass $\pi(x)$ von der Grossenordnung $x\slash(\log x)$ ist Verengerung der Schranken fur den Quotienten $\pi(x):x\slash(\log x)$ Beweis, dass die Unbestimmtheitsgrenzen von $\pi(x):x\slash(\log x)$ den Wert 1 einschliessen Uber einige von den Primzahlen abhangende Summen Zweiter Teil. Anwendung der Dirichletschen Reihen mit reellen Variabeln: Fundamentaleigenschaften der Dirichletschen Reihen Untersuchungen einiger spezieller Dirichletscher Reihen Uber die Unbestimmtheitsgrenzen des Produktes $\log^{q}x\slash(x)(\pi(x)-\int^{x}_{2} du\slash(\log u))$ Dritter Teil. Anwendung der Elemente der Theorie der Funktionen komplexer Variabeln: Eigenschaften der Zetafunktion Beweis des Primzahlsatzes und der scharferen Abschatzungen fur die Primzahlmenge Folgerungen aus dem Primzahlsatz und den scharferen Relationen uber $\pi(x)$ Vierter Teil. Theorie der Zetafunktion mit Anwendungen auf das Primzahlproblem: Die Fortsetzbarkeit der Zetafunktion in der ganzen Ebene und die Funktionalgleichung Uber die Existenz der nicht reellen Nullstellen von $\zeta (s)$ und die Produktdarstellung der ganzen Funktion $(s-1)\zeta (s)$ Beweis des Nichtverschwindens von $\zeta (s)$ in einem grosstmoglichen Teile des Streifens $0\leqq\sigma\leqq 1$ Anwendung auf das Primzahlproblem Beweis genauer Formeln fur gewisse endliche uber Primzahlen erstreckte Summen Genauere Abschatzung der Anzahl $N(T)$ der Nullstellen von $\zeta (s)$ im Rechteck $0<\sigma< 1, 0< t\leqq T$ Uber die Beziehungen zwischen der oberen Grenze der reellen Teile der Nullstellen der Zetafunktion und der Abschatzung der Primzahlmenge Zweites Buch. Uber die Primzahlen einer arithmetischen Progression Funfter Teil. Anwendung der Dirichletschen Reihen mit reellen Veranderlichen: Hilfssatze aus der Zahlentheorie Die Dirichletschen Reihen $L_x (s)$ Beweis des Satzes vom Vorhandensein unendlich vieler Primzahlen in der arithmetischen Progression Zusatze und Folgerungen Uber die Anzahl der Primzahlen bis $x$ in der Progression Sechster Teil. Anwendung der Elemente der Theorie der Funktionen komplexer Variabeln: Eigenschaften der Funktionen $L_x (s)$ und $K(s)$ Primzahlgesetze Funktionentheoretischer Beweis des Nichtverschwindens der reellen Reihe $L$ Siebenter Teil. Theorie der verallgemeinerten Zetafunktionen mit Anwendungen auf das Primzahlproblem: Die Fortsetzbarkeit der Funktionen $L_x(s)$ in der ganzen Ebene und die Funktionalgleichung Die Produktzerlegung der ganzen Funktionen $L(s,\varkappa)$ bzw. $(s-1) L(s,\varkappa)$ fur eigentliche und uneigentliche Charaktere Beweis des Nichtverschwindens von $L_x(s)$ in einem gewissen Teile des kritischen Streifens mit Anwendung auf das Primzahlproblem Die genaue Primzahlformel fur die arithmetische Progression Genauere Abschatzung von $N(T)$ Achter Teil. Anwendungen der Theorie der Primzahlen in einer arithmetischen Progression: Uber die Zerlegung der Zahlen in Quadrate Uber die Zerlegung der Zahlen in Kuben Uber den grossten Primteiler gewisser Produkte.